Число размещений с повторениями
Формула для расчета числа размещений с повторениями:
\overline{A_n^k} = n^kгде:
A — всего возможных комбинаций,
k — всего элементов,
n — число элементов в выборке.
Например, возможно всего 1000 комбинаций трёхзначного кода из цифр от 0 до 9:
\overline{A_{10}^3} = 10^3 = 1000
Число размещений и сочетаний без повторений
Формула для расчета числа размещений без повторений (в одной комбинации может встречаться любое количество одинаковых значений, например, последовательность 1, 1, 2):
A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1) = \frac {n!}{(n-k)!} = C_n^k k!в которой присутствует формула для расчета числа сочетаний без повторений (в одной комбинации могут встречаться только разные значения, например, последовательность 1, 3, 5):
C_n^k = \frac {n!}{k!(n-k)!} = C_n^{n-k}где:
A — размещений без повторений,
C — сочетаний без повторений,
k — всего элементов,
n — число элементов в выборке,
k < n.
Формула расчёта числа сочетаний без повторений лежит в основе формулы Лапласа, описывающей вероятность наступления событий.
Частные случаи сочетаний без повторения
В частном случае размещений без повторений при n = k:
A_{n}^n = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (1) = n!Например, 5 книг на полке можно разместить 120 различными способами:
A_5^5 = 5! = 120
В частном случае при сочетании без повторения нескольких наборов значений с разными количеством элементов в каждом:
C_{n_1, n_2, ... n_k}^{k} = n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k Например, требуется создать 6 правил доступа для предоставления 3 вариантов доступа (запрещён доступ, чтение, редактирование) к 2 видам контента (текст, изображение):
C_{3, 2}^{2} = 3 \cdot 2 = 6