Теория вероятностей

Пьер-Симон Лаплас был одним из основателей теории вероятностей. По Лапласу теорию вероятностей можно свести к формуле:

Вероятность\ (P) = \frac {Количество\ благоприятных\ исходов} {Количество\ всех\ равновероятных\ исходов}

Пьер-Симон Лаплас Был консулом Франции до Наполеона Бонапарта. Во время войны 1812 года он написал книгу о теории вероятностей. Книга содержала так называемую таблицу Лапласа. Теория вероятностей Лапласа построена на переборе вероятностей.

Елена Вентцель дала наиболее интересное определение теории вероятностей.

Елена Вентцель

Теория вероятностей — это объективная мера возможности наступления события.

Елена Вентцель написала много учебников по теории вероятности. Ее художественные книги публиковались под псевдонимом И.Грекова.

Важные аспекты

Несовместные величины (события) — события, которые не могут произойти одновременно.

Оценка полноты системы событий — выявление всех возможных вариантов развития событий.

Распределение вероятности возможно от 0 до 1:

0 \leqslant P \leqslant 1

Полная группа всех несовместных A₁, A₂, … , A_n событий равна единице:

\sum_{n}^{i=1}P(A_i)=1

Игра в кости

Игральные кости — хороший источник случайных чисел от 1 до 6. В задаче про выигрыш в кости для выигрыша должна выпасть «6» на одной кости. В случае с тремя костями вероятность выпадения выигрышных комбинаций может быть 125/216:

\frac {5}{6} \cdot \frac {5}{6} \cdot \frac {5}{6} = \frac{125}{216}

В статистике для каждой кости будет использоваться комбинация 5 из 6, а не 1 из 6, как в азартных играх, так как считается вероятность исключения негативных событий.

Решение на Python:

from fractions import Fraction # Дроби

# Задача про выигрыш в кости 
# (для выигрыша должна выпасть 6 на одной кости)

# 3 кости
# Fraction - результат в виде дроби
# limit_denominator - точность дроби
print("5/6*5/6*5/6 =", Fraction(5/6*5/6*5/6).limit_denominator(1000), "=", 5/6*5/6*5/6)

# 4 кости
print("(5/6)**4 =", Fraction((5/6)**4).limit_denominator(1500), "=", (5/6)**4)

5/6*5/6*5/6 = 125/216 = 0.5787037037037038
(5/6)**4 = 625/1296 = 0.4822530864197532

В приведенном выше примере при использовании 4 костей вероятность выпадения проигрышной комбинации (не выпадает «6» ни на одной из костей) составляет 625/1296. Это меньше значения 125/216, полученного при использовании 3 костей. В результате получается, что выиграть в игру, в которой требуется выпадение «6» на одной из костей, больше при использовании 4 костей, а не 3.

Игра в монеты

Игра в монеты является комбинаторной задачей. В игре используются монеты разного достоинства. В нашем случае: 1 рубль, 2 рубля, 5 рублей, 10 рублей. Каждая монета выпадает решкой с вероятностью 1/2. При 4 монетах вероятность выпадения решки каждой монеты равна 1/16.

\frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{16}

В данной задаче 16 вариантов событий, рассчитанных по сумме рублей на всех решках (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18). При этом, средний выигрыш:

\frac {144}{16} = 9

где:

144 = 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 16 + 17 + 18

Python анализ Математика Теория вероятностей