Непрерывные случайные величины

Функции непрерывной вероятности и ее плотности

Решение на Python:

import sympy as sm

x, k, a = sm.symbols("x k a")
# Функция распределения вероятности
# (закон квадратичного распределения)
Fx = k*x**2
Fx

kx^2

# Коэффициент k 
k = list(sm.solveset(sm.Eq(sm.limit(Fx, x, a), 1), k))[0]
k

\frac{1}{a^2}

# Функция плотности вероятности
fx = 2*k*x
fx

\frac{2a}{a^2}

# Математическое ожидание
M = sm.integrate(x*fx, (x, 0, a))
M

\frac{2a}{3}

# M*x^2
Mx2 = sm.integrate(x**2*fx, (x, 0, a))
Mx2

\frac{a^2}{2}

# Дисперсия
D = Mx2 - M**2
D

\frac{a^2}{18}

# Среднеквадратичное отклонение
# через sm.sqrt()
sigma = sm.sqrt(D)
sigma

\frac{\sqrt{2} \sqrt{a^2}}{6}

# Среднеквадратичное отклонение
# через возведение в половину степени
sigma = D**.5
sigma

0.235702260395516(a^2)^{0.5}

# Среднеквадратичное отклонение
(a*2**.5)/6

0.235702260395516a

Поиск параметров вероятности, если известна формула плотности вероятности

Формула плотности вероятности fx = kx*2

Решение на Python:

import sympy as sm

x, k, a = sm.symbols("x k a")
# Формула плотности вероятности
fx = k*x**2
fx

kx^2

k1 = list(sm.solveset(sm.Eq(sm.integrate(fx, (x, 0, a)), 1), k))[0]
k1

\frac{3}{a^3}

M = sm.integrate(x*fx, (x, 0, a)).subs(k, k1)
M

\frac{3a}{4}

Mx2 = sm.integrate(x**2*fx, (x, 0, a)).subs(k, k1)
Mx2

\frac{3a^2}{5}

D = Mx2 - M
D

\frac{3a^2}{5} - \frac{3a}{4}

sigma = sm.sqrt(D)
#sigma = D**.5
sigma

\sqrt{\frac{3a^2}{5} - \frac{3a}{4}}

Формула плотности вероятности fx = kx**2 + cx

Решение на Python:

import sympy as sm

x, k, c, a, m = sm.symbols("x k c a m")
# Формула плотности вероятности
fx = k*x**2 + c*x
fx

cx + kx^2

# Функция плотности распределения
expr1 = sm.Eq(sm.integrate(fx, (x, 0, a)), 1)
expr2 = sm.Eq(sm.integrate(x*fx, (x, 0, a)), m)
C = list(sm.solveset(expr1, c))[0]
C

-{\frac{2(a^3k-3)}{3a^2}}

K = list(sm.solveset(expr2.subs(c, C), k))[0]
K

-{\frac{12(2a-3m)}{a^4}}

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Решение на Python:

import sympy as sm

# Функция плотности распределения Гаусса 
# (нормальное распределение)
x, m, sigma = sm.symbols("x m sigma")
fx = 1/(sigma*sm.sqrt(2*sm.pi))*sm.E**-((x - m)**2/(2*sigma**2))
fx

\frac{\sqrt{2e}-\frac{(-m+x)^2}{2a^2}}{2\sqrt{\pi\sigma}}

# Высота колокола в точке m
h = 1/(sigma*sm.sqrt(2*sm.pi))
h

\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\pi\sigma}}

# Математическое ожидание
M = m
M

m

# Дисперсия
D = sigma**2
D

\sigma^2

Треугольное распределение

Решение на Python:

import sympy as sm

# Функция (плотности) распределения 
# треугольной вероятности

x, a, sigma = sm.symbols("x a sigma")
fx1 = x/a**2 + 1/a
fx2 = -x/a**2 + 1/a

S = sm.integrate(fx1, (x, -a, 0)) + sm.integrate(fx2, (x, 0, a))
S

1

M = sm.integrate(x*fx1, (x, -a, 0)) + sm.integrate(x*fx2, (x, 0, a))
M

0

Mx2 = sm.integrate(x**2*fx1, (x, -a, 0)) + sm.integrate(x**2*fx2, (x, 0, a))
Mx2

\frac{a^2}{6}

D = Mx2 - M**2
D

\frac{a^2}{6}

sigma = sm.sqrt(D)
#sigma = D**.5
sigma

\frac{\sqrt{6}\sqrt{a^2}}{6}

Функция плотности распределения вероятности kx+c (парабола ветвями вниз)

Решение на Python:

import sympy as sm

x, k, c, a = sm.symbols("x k c a")
# Функция плотности распределения
# f(x)=kx+c от '-a' до 'a'
fx = k*x + c

# k и c будут равны
c = 1/a
k = -1/a**3

# Итоговая функция
fx = k*x + c
fx

\frac{1}{a}-\frac{x}{a^3}

x, k, c, a, b = sm.symbols("x k c a b")
# Функция плотности распределения
# f(x)=kx+c от a' до 'b'
fx = k*x + c

# k и c будут равны
expra = sm.Eq(k*a**2 + c, 0)
exprb = sm.Eq(k*b**2 - c, 0)
expr1 = list(sm.solveset(expra, k*a**2))[0]
print(expr1)
expr2 = list(sm.solveset(exprb, k*b**2))[0]
print(expr2)

expr3 = sm.Eq(sm.integrate(fx, (x, a, b)), 1)
expr4 = expr3.subs({k*a**2:expr1, k*b**2:expr2})
C = list(sm.solveset(expr4, c))[0]
print(C)

K = list(sm.solveset(expra.subs(c, C), k))[0]
print(K)

fx_result = fx.subs({k:K, c:C})
fx_result

-c
c
-1/(a-b-1)
-1/(a**2*(-a+b+1))

-\frac{1}{a-b-1}-\frac{x}{a^2(-a+b+1)}

Python анализ Математика Теория вероятностей