Дискретные распределения

Схема Бернули или биноминальный закон распределения

P_{k,n} = C_n^k p^k q^{n-k}

где:

k — количество раз наступления события во всех испытаниях,
n — количество испытаний,
p — постоянно во всех испытаниях,
q = 1 — p,
0 ⩽ k ⩽ n,
k = 1, 2, …, n

M_n[k] = np

D_n[k] = npq

\sigma_n[k] = \sqrt{npq}

Решение на Python:

n = 30
p = .1

q = 1 - p
M = n*p
D = M*q
sigma = (D)**.5

print("M[k]  =", M)
print("D[k]  =", D)
print("sigma =", sigma)

M[k]  = 3.0
D[k]  = 2.7
sigma = 1.6431676725154984

n = 1000000
p = 1/2

q = 1 - p
M = n*p
D = M*q
sigma = (D)**.5
sigma3 = sigma*3
dev_limit = sigma3/M

print("M[k]    =", M)
print("D[k]    =", D)
print("sigma   =", sigma)
print("3*sigma =", sigma3)
print("{:} <<< {:} < {:} > {:} >>> {:}".format(round(M-sigma*3), round(M-sigma), round(M), round(M+sigma), round(M+sigma*3)))
print("Предельное отклонение = {:}%".format(round(dev_limit*100, 1)))

M[k]    = 500000.0
D[k]    = 250000.0
sigma   = 500.0
3*sigma = 1500.0
498500 <<< 499500 < 500000 > 500500 >>> 501500
Предельное отклонение = 0.3%

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона имеет наиболее широкое распространение в жизни, наряду с гауссовым распределением.

P(k) = \frac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

M[k] = \lambda = D[k]

\sigma[k] = \sqrt{\lambda}

В распределении Пуассона λ (лямбда) — константа, которая получается в результате суммирования произведений всех (например, во всей жизни) бесконечно малых значений Δt (время) и p (вероятность в период Δt).

p + q = 1

\Delta t \to 0, p \to 0

\sum \Delta tp = \lambda

Решение на Python:

k = nm.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
fk = nm.array([60, 25, 10, 2, 2, 1])


n = sum(fk)
Mk = k*fk
M = sum(Mk)/n
k2fk = k**2*fk
Mk2 = sum(k2fk)/n
D = Mk2 - M**2


print("K        fk     kfk     k^2fk")
print("-----------------------------")
i = 0
while i < len(k):
    print(k[i], "\t", fk[i], "\t", Mk[i], "\t", k2fk[i])
    
    i += 1

print("-----------------------------")
print("\t", n, "\t", M, "\t", Mk2)

print()
print("M =", M)
print("D =", D)
print("sigma =", D**.5)

K        fk     kfk     k^2fk
-----------------------------
0 	 60 	 0 	 0
1 	 25 	 25 	 25
2 	 10 	 20 	 40
3 	 2 	 6 	 18
4 	 2 	 8 	 32
5 	 1 	 5 	 25
-----------------------------
	 100 	 0.64 	 1.4

M = 0.64
D = 0.9904
sigma = 0.9951884243699782

Закон Пуассона распределенный во времени

События имеют свойства повторяться следом друг за другом с большей вероятностью, чем спустя некоторое время. Если начинается череда негативных событий, то их желательно прервать.

\tau = \frac {T}{\overline k}

где τ — это среднее количество событий k под чертой за промежуток времени T.

Python анализ Математика Теория вероятностей